Teoria della probabilità e lotteria: la matematica che vale la pena conoscere
La lotteria è uno dei pochi ambiti della vita in cui la teoria della probabilità funziona nella sua forma più pura. Nessun fattore nascosto, nessuna abilità: solo caso e calcolo combinatorio. È proprio per questo che la lotteria è un modo eccellente per capire come funziona la probabilità. E, lungo il percorso, per smettere di credere ai miti.
La formula su cui si fonda tutto
Tutta la matematica della lotteria si riduce a un'unica formula: il numero di combinazioni:
C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)
Qui n indica quanti numeri ci sono nel bombolone, e k quanti ne devi azzeccare. Il risultato è il conteggio di tutte le combinazioni possibili. La probabilità del jackpot è uno diviso questo numero.
Il fattoriale (n!) è il prodotto di tutti i numeri da 1 a n. Sembra intimidatorio, ma in pratica gran parte del fattoriale si semplifica. Per il SuperEnalotto (6 su 90):
C(90, 6) = (90 × 89 × 88 × 87 × 86 × 85) / (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 448 282 533 600 / 720 = 622 614 630
Il numeratore è il prodotto dei sei numeri "in cima", mentre il denominatore è il fattoriale di sei (720). Non serve una laurea: basta una calcolatrice. Oppure il nostro calcolatore di probabilità. È questa la radice dell'1 su 622.614.630 del SuperEnalotto.
L'indipendenza degli eventi: il principio cardine
La teoria della probabilità ha il concetto di eventi indipendenti: l'esito di uno non influenza l'esito dell'altro. Ogni estrazione della lotteria è un evento indipendente. Un numero non ricorda se è uscito ieri. Il bombolone non è "in debito" e non deve compensare i risultati passati.
Da qui discende una conclusione scomoda: analizzare le estrazioni passate non aiuta a prevedere quelle future. Un numero uscito 20 volte su 100 ha, alla prossima estrazione, esattamente la stessa probabilità di un numero uscito 5 volte. Ne parliamo più a fondo nell'articolo sulla statistica di frequenza dei numeri.
La fallacia dello scommettitore
"Il rosso è uscito cinque volte di fila, quindi adesso deve uscire il nero." Questa è la fallacia dello scommettitore, uno degli errori cognitivi più persistenti.
Nella lotteria si manifesta così: "il 13 non esce da una vita, quindi sta per uscire". È falso. La roulette, una moneta e il bombolone della lotteria non hanno memoria. La probabilità di ciascun esito è costante e non dipende dalla storia precedente. È proprio l'idea alla base dei numeri ritardatari: un ritardo elevato è affascinante, ma non aumenta di una virgola la probabilità di estrazione.
Esiste anche la fallacia opposta: "il 7 esce spesso, quindi è 'caldo' e continuerà a uscire". Si chiama fallacia del cecchino del Texas: prima si osserva il risultato e poi si disegna il bersaglio attorno ad esso.
La legge dei grandi numeri
Se ogni estrazione è indipendente e un numero non ricorda il passato, perché la frequenza di ciascun numero tende a pareggiarsi nell'arco di migliaia di estrazioni? Questa è la legge dei grandi numeri: con un numero sufficiente di prove, le frequenze statistiche convergono verso le probabilità teoriche.
Importante: la legge funziona nel lungo periodo. Non significa che dopo 10 "teste" di fila la moneta "debba" dare croce. Significa che dopo un milione di lanci il rapporto sarà vicino a 50/50.
Per la lotteria questo vuol dire: nell'arco di 10.000 estrazioni del SuperEnalotto, ciascun numero uscirà più o meno lo stesso numero di volte. Ma in qualsiasi momento specifico, gli scostamenti sono inevitabili e normali, ed è proprio per questo che esistono i numeri frequenti e i ritardatari.
Probabilità condizionata e bomboloni multipli
Nelle lotterie con più bomboloni (come l'EuroJackpot, che ha un bombolone principale di 50 numeri più un bombolone separato di 12 Euronumeri da cui se ne estraggono 2), agli eventi indipendenti si applica la regola della moltiplicazione delle probabilità.
Se la probabilità di azzeccare i 5 numeri principali è 1/2 118 760, e la probabilità di azzeccare i 2 Euronumeri è 1/66, allora la probabilità di azzeccare entrambi è:
P = 1/2 118 760 × 1/66 = 1/139 838 160
È esattamente questo il motivo per cui l'EuroJackpot è una lotteria ingannevolmente difficile. Il formato sembra gestibile (solo cinque numeri e due Euronumeri!), ma il secondo bombolone moltiplica le probabilità e il risultato è ben più ripido di un gioco a bombolone singolo come il MillionDAY (5 su 55, 1 su 3.478.761).
Valore atteso: quanto "vale" davvero una giocata
Il valore atteso è la vincita media per giocata su un numero infinito di partecipazioni. Per la lotteria è quasi sempre negativo: in media ricevi indietro meno di quanto spendi.
Se una giocata costa 1 € e il valore atteso della vincita è 0,45 €, significa che, giocando all'infinito, perderai 0,55 € su ogni giocata. La differenza va al montepremi, alle imposte e ai costi di gestione dell'operatore.
L'eccezione sono i jackpot a riporto (il "jackpot" che cresce di concorso in concorso). Quando il jackpot non viene vinto per diverse estrazioni di fila, si accumula, e a un certo punto il valore atteso può diventare positivo. È raro, ma teoricamente possibile, e nel SuperEnalotto i jackpot record nascono proprio da lunghe sequenze di riporti.
Il paradosso del compleanno
Uno dei paradossi più celebri della teoria della probabilità aiuta a spiegare l'intuizione della lotteria. In un gruppo di 23 persone, la probabilità che due festeggino il compleanno nello stesso giorno è superiore al 50%. Sembra impossibile, eppure è vero.
La lotteria è simile. La probabilità che vinca il jackpot proprio tu è minuscola. Ma la probabilità che qualcuno tra milioni di giocatori lo vinca è del tutto tangibile. È esattamente per questo che i jackpot vengono centrati con regolarità, anche se la possibilità di ogni singolo giocatore è trascurabile.
Cosa ne consegue
- La formula delle combinazioni C(n, k) è l'unica matematica di cui hai bisogno per la lotteria. Tutto il resto ne è una conseguenza.
- Ogni estrazione è indipendente. I risultati passati non influenzano quelli futuri. Punto.
- La legge dei grandi numeri agisce nell'arco di migliaia di estrazioni, ma non aiuta a prevedere la prossima.
- Il valore atteso è negativo. La lotteria non è un investimento.
- La scelta della lotteria è l'unica decisione che incide davvero sulle tue probabilità. Fai i conti prima di scegliere.
