Théorie des probabilités et loterie : les maths qu'il faut connaître
La loterie est l'un des rares domaines de la vie où la théorie des probabilités s'exprime à l'état pur. Aucun facteur caché, aucune adresse à acquérir : seulement le hasard et la combinatoire. C'est précisément pour cette raison que la loterie est un excellent moyen de comprendre comment fonctionnent les probabilités. Et, au passage, d'arrêter de croire aux mythes.
La formule sur laquelle tout repose
Toutes les mathématiques de la loterie se ramènent à une seule formule : le nombre de combinaisons:
C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)
Ici, n est le nombre de boules dans le lototron, et k le nombre de numéros à trouver. Le résultat est le décompte de toutes les combinaisons possibles. La probabilité du jackpot est égale à un divisé par ce nombre.
Une factorielle (n!) est le produit de tous les entiers de 1 à n. Cela paraît intimidant, mais en pratique l'essentiel de la factorielle se simplifie. Pour le Loto (5 sur 49):
C(49, 5) = (49 × 48 × 47 × 46 × 45) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 1 906 884
Le numérateur est le produit des cinq numéros « du haut », et le dénominateur la factorielle de cinq (120). Aucun diplôme avancé n'est requis : une calculatrice suffit. Ou notre calculateur de probabilités. À noter : pour décrocher le rang 1 du Loto, il faut aussi le numéro Chance (1 à 10), ce qui porte la probabilité à 1 sur 19 068 840.
L'indépendance des événements : le principe central
La théorie des probabilités définit la notion d'événements indépendants: le résultat de l'un n'influence pas le résultat de l'autre. Chaque tirage de loterie est un événement indépendant. Une boule ne se « souvient » pas d'être sortie hier. Le lototron n'est jamais « obligé » de compenser les résultats passés.
Il en découle une conclusion gênante : analyser les tirages passés n'aide pas à prédire les suivants. Un numéro sorti 20 fois sur 100 a, au tirage suivant, exactement la même probabilité qu'un numéro sorti 5 fois. Pour approfondir, consultez notre article sur les statistiques de fréquence des numéros.
L'erreur du joueur
« Le rouge est sorti cinq fois de suite : maintenant ça doit être le noir. » Voilà l'erreur du joueur (gambler's fallacy), l'un des biais cognitifs les plus tenaces.
À la loterie, cela se traduit ainsi : « le numéro 13 n'est pas sorti depuis une éternité, il va donc sortir. » C'est faux. Une roulette, une pièce et un lototron n'ont aucune mémoire. La probabilité de chaque résultat est constante et ne dépend pas de l'historique.
L'erreur inverse existe aussi : « le numéro 7 sort souvent, il est donc « chaud » et continuera de sortir. » C'est ce qu'on appelle l'erreur du tireur d'élite texan (Texas sharpshooter) : on observe d'abord le résultat, puis on dessine la cible autour.
La loi des grands nombres
Si chaque tirage est indépendant et qu'une boule ne se souvient pas du passé, pourquoi la fréquence de chaque numéro tend-elle à s'égaliser sur des milliers de tirages ? C'est la loi des grands nombres: avec un nombre suffisant d'essais, les fréquences statistiques convergent vers les probabilités théoriques.
Important : la loi agit sur le long terme. Elle ne signifie pas qu'après 10 « pile » d'affilée la pièce « doit » tomber sur « face ». Elle signifie qu'après un million de lancers, le rapport sera proche de 50/50.
Pour la loterie, cela veut dire : sur 10 000 tirages du Loto, chaque numéro sortira à peu près le même nombre de fois. Mais à un instant donné, des écarts sont inévitables et parfaitement normaux.
Probabilité conditionnelle et lototrons multiples
Dans les loteries à plusieurs lototrons (comme l'EuroMillions, qui possède un lototron principal de 50 boules plus un lototron séparé de 12 étoiles), la règle de multiplication des probabilités s'applique aux événements indépendants.
Si la probabilité de trouver les cinq numéros principaux est de 1/2 118 760 (C(50,5)), et la probabilité de trouver les deux étoiles de 1/66 (C(12,2)), alors la probabilité de réussir les deux à la fois :
P = 1/2 118 760 × 1/66 = 1/139 838 160
C'est exactement pour cela que l'EuroMillions est une loterie trompeusement difficile. Le format semble abordable (juste cinq numéros et deux étoiles !), mais le second lototron multiplie les probabilités, et le résultat est bien plus vertigineux qu'un jeu à un seul lototron comme le Loto.
L'espérance mathématique : ce que « vaut » vraiment un billet
L'espérance mathématique est le gain moyen par billet sur un nombre infini de parties. Pour la loterie, elle est presque toujours négative : en moyenne, vous récupérez moins que vous ne dépensez.
Si un billet coûte 2 € et que l'espérance du gain est de 0,90 €, cela signifie qu'en jouant indéfiniment, vous perdrez 1,10 € sur chaque billet. La différence alimente le fonds de gains, les taxes et les frais de fonctionnement de l'opérateur.
L'exception, ce sont les jackpots reportés. Lorsque le jackpot n'est pas remporté pendant plusieurs tirages consécutifs, il grossit, et à un certain point l'espérance peut devenir positive. C'est rare, mais théoriquement possible.
Le paradoxe des anniversaires
L'un des paradoxes les plus célèbres de la théorie des probabilités aide à comprendre l'intuition de la loterie. Dans un groupe de 23 personnes, la probabilité que deux partagent le même anniversaire dépasse 50 %. Cela semble impossible, et pourtant c'est vrai.
La loterie suit le même schéma. La probabilité que vous remportiez le jackpot est minuscule. Mais la probabilité que quelqu'un parmi des millions de joueurs le remporte est bien tangible. C'est exactement pour cela que les jackpots tombent régulièrement, même si la chance de chaque joueur pris isolément est négligeable.
Ce qu'il faut en retenir
- La formule des combinaisons C(n, k) est la seule mathématique dont vous avez besoin pour la loterie. Tout le reste en découle.
- Chaque tirage est indépendant. Les résultats passés n'influencent pas les futurs. Point final.
- La loi des grands nombres agit sur l'échelle de milliers de tirages, mais n'aide pas à prédire le prochain.
- L'espérance mathématique est négative. La loterie n'est pas un placement.
- Le choix de la loterie est la seule décision qui influence réellement vos chances. Faites les calculs avant de choisir.
