Teoría de la probabilidad y la lotería: las matemáticas que conviene conocer
La lotería es una de las pocas facetas de la vida donde la teoría de la probabilidad funciona en su forma más pura. Sin factores ocultos, sin destreza: solo azar y combinatoria. Por eso precisamente la lotería es una manera excelente de entender cómo funciona la probabilidad. Y, de paso, de dejar de creer en los mitos.
La fórmula sobre la que se construye todo
Toda la matemática de la lotería se reduce a una sola fórmula: el número de combinaciones:
C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)
Aquí n es cuántas bolas hay en el bombo, y k cuántas necesitas acertar. El resultado es el total de combinaciones posibles. La probabilidad del bote es uno dividido entre ese número.
Un factorial (n!) es el producto de todos los números del 1 al n. Suena intimidante, pero en la práctica gran parte del factorial se cancela. Para La Primitiva (6 de 49):
C(49, 6) = (49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44) / (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 13 983 816
El numerador es el producto de los seis números «de arriba», y el denominador es el factorial de seis (720). No hace falta un título avanzado: una calculadora lo resuelve. O nuestra calculadora de probabilidades.
Independencia de los sucesos: el principio clave
La teoría de la probabilidad maneja el concepto de sucesos independientes: el resultado de uno no afecta al resultado de otro. Cada sorteo de la lotería es un suceso independiente. Una bola no recuerda si salió ayer. El bombo no «debe» compensar los resultados pasados.
De ahí se sigue una conclusión incómoda: analizar los sorteos pasados no ayuda a predecir los futuros. Un número que salió 20 veces de cada 100 tiene, en el próximo sorteo, exactamente la misma probabilidad que un número que salió 5 veces. Más sobre esto en nuestro artículo sobre las estadísticas de frecuencia de los números.
La falacia del jugador
«El rojo ha salido cinco veces seguidas, así que ahora tiene que salir negro.» Esta es la falacia del jugador, uno de los errores cognitivos más persistentes.
En la lotería aparece así: «el número 13 lleva siglos sin salir, así que está a punto de aparecer». Es falso. Una ruleta, una moneda y un bombo de lotería no tienen memoria. La probabilidad de cada resultado es constante y no depende del historial.
También existe la falacia inversa: «el número 7 sale a menudo, así que está “caliente” y seguirá saliendo». A esto se le llama falacia del francotirador de Texas: la persona primero ve el resultado y luego dibuja la diana a su alrededor.
La ley de los grandes números
Si cada sorteo es independiente y una bola no recuerda el pasado, ¿por qué a lo largo de miles de sorteos la frecuencia de cada número tiende a igualarse? Esta es la ley de los grandes números: con un número suficiente de pruebas, las frecuencias estadísticas convergen hacia las probabilidades teóricas.
Importante: la ley funciona a largo plazo. No significa que tras 10 «caras» seguidas la moneda «tenga que» caer cruz. Significa que tras un millón de lanzamientos la proporción estará cerca del 50/50.
Para la lotería esto quiere decir: a lo largo de 10.000 sorteos de La Primitiva, cada número saldrá aproximadamente la misma cantidad de veces. Pero en cualquier momento concreto las desviaciones son inevitables y normales.
Probabilidad condicionada y bombos múltiples
En las loterías con varios bombos (como EuroMillions, que tiene un bombo principal de 50 bolas más un segundo bombo con 12 estrellas), se aplica la regla de la multiplicación de probabilidades para sucesos independientes.
Si la probabilidad de acertar los cinco números principales es 1/2 118 760, y la probabilidad de acertar las 2 estrellas es 1/66, entonces la probabilidad de acertar ambas cosas:
P = 1/2 118 760 × 1/66 = 1/139 838 160
Por eso precisamente EuroMillions es una lotería engañosamente difícil. El formato parece manejable (¡solo cinco números y dos estrellas!), pero el segundo bombo multiplica las probabilidades, y el resultado es mucho más empinado que un juego de un solo bombo como La Primitiva.
Esperanza matemática: lo que «vale» de verdad un boleto
La esperanza matemática es el premio medio por boleto a lo largo de un número infinito de jugadas. En la lotería casi siempre es negativa: de media recibes menos de lo que gastas.
Si un boleto cuesta 1 € y la esperanza del premio es de 0,45 €, eso significa: jugando indefinidamente, perderás 0,55 € por cada boleto. La diferencia va al fondo de premios, los impuestos y los gastos de funcionamiento del operador.
La excepción son los botes acumulados. Cuando el bote no se gana durante varios sorteos seguidos, crece, y en algún momento la esperanza matemática puede volverse positiva. Es raro, pero teóricamente posible.
La paradoja del cumpleaños
Una de las paradojas más famosas de la teoría de la probabilidad ayuda a entender la intuición sobre la lotería. En un grupo de 23 personas, la probabilidad de que dos compartan cumpleaños supera el 50%. Parece imposible, pero es cierto.
La lotería es parecida. La probabilidad de que tú ganes el bote es minúscula. Pero la probabilidad de que alguien entre millones de jugadores lo gane es bastante palpable. Por eso precisamente los botes caen con regularidad, aunque la posibilidad de cualquier jugador individual sea despreciable.
Qué se deduce de todo esto
- La fórmula de las combinaciones C(n, k) es la única matemática que necesitas para la lotería. Todo lo demás es consecuencia de ella.
- Cada sorteo es independiente. Los resultados pasados no afectan a los futuros. Punto.
- La ley de los grandes números opera a lo largo de miles de sorteos, pero no ayuda a predecir el siguiente.
- La esperanza matemática es negativa. La lotería no es una inversión.
- Elegir la lotería es la única decisión que realmente afecta a tus probabilidades. Echa cuentas antes de elegir.
