Wahrscheinlichkeitsrechnung und Lotto: Die Mathematik, die man kennen sollte
Lotto ist einer der wenigen Lebensbereiche, in denen die Wahrscheinlichkeitsrechnung in Reinform funktioniert. Keine verborgenen Faktoren, kein Können - nur Zufall und Kombinatorik. Genau deshalb ist Lotto so gut geeignet, um zu verstehen, wie Wahrscheinlichkeit wirklich funktioniert. Und ganz nebenbei: um mit den Mythen aufzuräumen.
Die Formel, auf der alles aufbaut
Die gesamte Mathematik des Lottos läuft auf eine einzige Formel hinaus - die Anzahl der Kombinationen:
C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)
Dabei ist n die Anzahl der Kugeln in der Trommel und k die Anzahl der Zahlen, die du richtig tippen musst. Das Ergebnis ist die Anzahl aller möglichen Kombinationen. Die Wahrscheinlichkeit für den Hauptgewinn ist eins geteilt durch diese Zahl.
Eine Fakultät (n!) ist das Produkt aller Zahlen von 1 bis n. Das klingt einschüchternd, doch in der Praxis kürzt sich der größte Teil der Fakultät weg. Für Lotto 6aus49 (6 aus 49):
C(49, 6) = (49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44) / (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 13 983 816
Der Zähler ist das Produkt der sechs "obersten" Zahlen, der Nenner ist die Fakultät von sechs (720). Es braucht keinen Hochschulabschluss - ein Taschenrechner genügt. Oder unser Gewinnchancen-Rechner. Die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige bei 6aus49 beträgt also 1 zu 13.983.816. Kommt noch die richtige Superzahl (0 bis 9) hinzu, multipliziert sich der Wert mit 10: der Jackpot (6 Richtige + Superzahl) liegt bei 1 zu 139.838.160.
Unabhängigkeit von Ereignissen: das Kernprinzip
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung kennt den Begriff der unabhängigen Ereignisse: Der Ausgang des einen beeinflusst den Ausgang des anderen nicht. Jede Lottoziehung ist ein unabhängiges Ereignis. Eine Kugel "erinnert" sich nicht daran, ob sie gestern gezogen wurde. Die Trommel ist nicht "fällig", um vergangene Ergebnisse auszugleichen.
Daraus folgt eine unbequeme Schlussfolgerung: Die Analyse vergangener Ziehungen hilft nicht, zukünftige vorherzusagen. Eine Zahl, die 20 von 100 Mal gezogen wurde, hat in der nächsten Ziehung exakt dieselbe Wahrscheinlichkeit wie eine Zahl, die nur 5 Mal kam. Mehr dazu in unserem Artikel zur Statistik der Zahlenhäufigkeit.
Der Spielerfehlschluss
"Rot ist fünfmal hintereinander gekommen - jetzt muss endlich Schwarz dran sein." Das ist der Spielerfehlschluss (gambler's fallacy) - einer der hartnäckigsten Denkfehler überhaupt.
Beim Lotto zeigt er sich so: "Die 13 wurde ewig nicht gezogen, also kommt sie jetzt bald." Das ist falsch. Ein Roulettekessel, eine Münze und eine Lottotrommel haben kein Gedächtnis. Die Wahrscheinlichkeit jedes Ausgangs ist konstant und hängt nicht von der Vergangenheit ab.
Es gibt auch den umgekehrten Fehlschluss: "Die 7 kommt oft - sie ist also 'heiß' und wird weiter kommen." Das nennt man den Texas-Sharpshooter-Fehlschluss - man sieht zuerst das Ergebnis und zeichnet die Zielscheibe nachträglich darum herum.
Das Gesetz der großen Zahlen
Wenn jede Ziehung unabhängig ist und eine Kugel sich nicht an die Vergangenheit erinnert, warum gleicht sich dann die Häufigkeit jeder Zahl über Tausende Ziehungen hinweg an? Das ist das Gesetz der großen Zahlen: Bei einer ausreichend großen Zahl von Versuchen nähern sich die statistischen Häufigkeiten den theoretischen Wahrscheinlichkeiten an.
Wichtig: Das Gesetz wirkt auf lange Sicht. Es bedeutet nicht, dass nach 10 "Kopf" in Folge die Münze "Zahl" zeigen "muss". Es bedeutet, dass nach einer Million Würfen das Verhältnis nahe bei 50/50 liegt.
Für das Lotto heißt das: Über 10.000 Ziehungen von Lotto 6aus49 hinweg wird jede Zahl ungefähr gleich oft gezogen. Doch in jedem einzelnen Moment sind Abweichungen unvermeidlich und völlig normal.
Bedingte Wahrscheinlichkeit und mehrere Trommeln
Bei Lotterien mit mehreren Trommeln - wie dem Eurojackpot, der eine Haupttrommel mit 50 Kugeln (5 Zahlen) und eine separate Eurozahlen-Trommel mit 12 Kugeln (2 Zahlen) besitzt - gilt für unabhängige Ereignisse die Multiplikationsregel der Wahrscheinlichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit, die fünf Hauptzahlen zu treffen, beträgt 1/2 118 760 (das ist C(50, 5)). Die Wahrscheinlichkeit, beide Eurozahlen zu treffen, beträgt 1/66 (das ist C(12, 2)). Die Wahrscheinlichkeit, beides gleichzeitig zu treffen:
P = 1/2 118 760 × 1/66 = 1/139 838 160
Genau deshalb ist der Eurojackpot eine tückisch schwere Lotterie. Das Format wirkt überschaubar (nur fünf Zahlen und zwei Zusatzzahlen!), doch die zweite Trommel multipliziert die Wahrscheinlichkeiten, und das Ergebnis ist weit steiler als bei einem Einzeltrommel-Spiel wie Lotto 6aus49 (1 zu 13.983.816 für 6 Richtige).
Erwartungswert: was ein Tippschein wirklich "wert" ist
Der Erwartungswert ist die durchschnittliche Auszahlung pro Tippschein über eine unendliche Zahl von Spielen. Beim Lotto ist er fast immer negativ: Im Schnitt bekommst du weniger zurück, als du einsetzt.
Kostet ein Tipp 1,20 Euro und beträgt der Erwartungswert der Auszahlung 0,55 Euro, dann bedeutet das: Spielst du unendlich lange, verlierst du im Schnitt 0,65 Euro pro Tipp. Die Differenz fließt in den Gewinntopf, in Steuern und Abgaben sowie in die Betriebskosten des Veranstalters.
Die Ausnahme sind angesammelte Jackpots. Wird der Jackpot mehrere Ziehungen in Folge nicht geknackt, wächst er an, und irgendwann kann der Erwartungswert sogar positiv werden. Das ist selten, theoretisch aber möglich.
Das Geburtstagsparadoxon
Eines der berühmtesten Paradoxa der Wahrscheinlichkeitsrechnung hilft, die Lotto-Intuition zu verstehen. In einer Gruppe von 23 Personen ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei am selben Tag Geburtstag haben, größer als 50 %. Es scheint unmöglich, ist aber wahr.
Beim Lotto ist es ähnlich. Die Wahrscheinlichkeit, dass du den Jackpot gewinnst, ist winzig. Doch die Wahrscheinlichkeit, dass irgendjemand unter Millionen Mitspielern ihn gewinnt, ist durchaus greifbar. Genau deshalb werden Jackpots regelmäßig geknackt, obwohl die Chance jedes einzelnen Spielers verschwindend gering ist.
Was daraus folgt
- Die Kombinationsformel C(n, k) ist die einzige Mathematik, die du für das Lotto brauchst. Alles andere ist eine Folge davon.
- Jede Ziehung ist unabhängig. Vergangene Ergebnisse beeinflussen zukünftige nicht. Punkt.
- Das Gesetz der großen Zahlen wirkt über Tausende Ziehungen hinweg, hilft aber nicht, die nächste vorherzusagen.
- Der Erwartungswert ist negativ. Lotto ist keine Geldanlage.
- Die Wahl der Lotterie ist die einzige Entscheidung, die deine Chancen wirklich beeinflusst. Rechne die Zahlen durch, bevor du wählst.
